続 PLLを理解したいその６

1.チョット、いたずら心を...

　

前回、クローズドループゲインを求めました。

　

ここで、10MHz発振器の場合

で、

R=1.4K $\Omega$ で、C=0.1 $\mu F$ の場合と、C=68 $\mu F$ の場合を比較いたしました。

C=0.1 $\mu F$ の場合

伝達関数H(s)は

でした。

今、Mapleという、計算エンジンが、せっかく、あるのですから

これに、逆ラプラス変換を、やってもらいました。

, は次のラプラス変換

C=68 $\mu F$ の場合

, は次のラプラス変換

これら（１）、（２）式のグラフを、計算エンジンに書いてもらったら

（１）式 C=0.1

$\mu F$ の場合

（２）式 C=68

$\mu F$ の場合

（１）のグラフは、ちょっと、見づらいので、拡大すると

（１）式 C=0.1

$\mu F$ の場合（拡大）

これから、

C=0.1 $\mu F$ の時、

伝達関数H(s)を、時間軸で見たものは

0.2秒以内で、ゼロになっています。

C=68 $\mu F$ の時、

伝達関数H(s)を、時間軸で見たものは

もっと、遥かにゆっくり、5秒位かかって、ゼロに収束していきます。

これが、PLLの1周期毎の、収束に要する時間では、ないかと思うのです...

C=68 $\mu F$ の場合なんか、もの凄い時間が掛かるから、

1周期の反応が、幾重にも重なって、どんな反応するんやろ、想像もつかん...

2.ダンピングファクター、natural frequencyと、伝達関数の関係

　

「PLLの動作を理解するために伝達関数の分母を、制御理論でなじみのある、

でおき換える、ここではダンピングファクタであり、 $\omega _{n}\quad$ は系の固有角周波数である。」

（*Razavi p.280 「RFマイクロエレクトロニクス」黒田監訳）

　

natural frequencyの邦訳は固有角周波数だそうです。

（簡単なPLLにおいて、と入出力周波数とは関連がない *Razavi 注）

伝達関数H(s)は、（著書によると、分周比Nは省いてある）

　

でしたから

これと、制御理論の式（全く、馴染みがないんです (^_^ ;; ）

　

を、見比べて

ｓの項

常数項

　

だから、整理すると

式が、導かれます。

（そうか！変数を、置き変えた訳ですね。）

「よく設計された二次のシシテムでは、 $\zeta$ はたいてい0.5より大きく、平らな周波数特性のためには

$\zeta \quad$ を MATH にするのが望ましい。従って、 $\zeta$ ＝なら

といったように、kと $\omega _{LPF}$ を独立に決めることはできない」

（*Razavi p.281 ）

ダンピングファクタを使うには、二次のシシテムであることが、必要なようです。

　

３.実際に設計してみましょう

$\zeta$ ＝

に、採ります。

　

この時

ですから

C=0.1 $\mu F$ に採ると

でしたから

（7.3Meg)

MATH

$\omega _{n}$ は、ついでに、出して置きましたが、意味は、わかりません。

しかし、 $\zeta$ ＝は、Rの値の大きさから、チョット、実現不可能では...

C=68 $\mu F$ に、したら、どうでしょう？

は、同じ。

（１０．７Kおおっ！実現可能や！！！）

この値が、探し求めていた値やったんです！！！（今、やっと、出た '(@_@）' ）

$\vspace{1pt}\quad$

は、同じです。

　

「ダンピングファクタ等、要らん」と、思っていたのに、

CRの値を決定するのにもの凄く、役に立った訳です。

（私が、実験で、最初に決めた値R=1.4K $\Omega$ 、C=0.1 $\mu F\quad$ が、ええかげんで、不安やったんです。）

そう言えば、Haywardさんも、いきなり、CとRの値を、決めていて、

何で、その値になるのか、読みながら、判らなかったんです、ハテ？？？

（*Hayward p.328 「Introduction To Radio Frequency Design」（7.8-7））

　

何とか、happyに、成れました。

このホームページは、斯様に、自分の実験との、同時進行のページです。

「もう一回やれ」と言われても、2度と、できないと思います。（感動が薄れるから）

　

次なる標的は、Yahooオークションで見つけた

デジタル・バランスド・モジュレータ（￥3,980）に、なると思います。

（と言うか、もう送金先を、メールで問い合わせました...）

どうなることやら...

H15.04.25

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