「RC回路をラプラス変換で解く」に挑戦の巻

挑戦と言っても、全て書籍の受け売りです。

書籍は「信号解析のための数学 三谷政昭著 森北出版 p.40」

すっごく、解り易く書いて下さっています。

私の役割は、受け売り アルファです。

今回のプラスアルファは「scientific notebook」と言うソフトです。

(この文書を、これで書いています。数式を解いてくれるエンジンに

ラプラス変換、逆ラプラス変換をやってもらっています。

お試し版なので、無料ですが、1ヶ月の命です。

Maple,Mathematicaなんかは とても高価で、趣味には無理ですが

これは手が届きそうですよ。

書くのを急ぐのも、この期限付きのせいかも...)

下図のRC回路に、スイッチング波形を印加した時の出力応答を求める


RC__1.png

図では、見にくいですが、

大きさが1のスイッチング波形($0\leq t\leq 3$の時だけ1、他は0)

R1=1$\Omega $ C1=0.5F

と言う条件です。

数式エンジン(MapleかMuPadが使える)では、ヘビサイド$\func{Heaviside}$と言う関数です。

このヘビサイドは


MATH

と定義され、グラフは次のようになっています。


RC__7.png
Heaviside$(x)$

このHeavisideを3秒後に1になるように、ずらすには

MATHとします。
RC__9.png

したがって、RC回路に印加された電圧$e(t)$

MATH
RC__12.png

となります。

この電圧e(t)をラプラス変換すべく、数式エンジンにかけると

MATH

ラプラス変換は: MATH

と出ますが、これはいけません。役に立たない。

そこで、上記の森下先生の本より

T(秒)遅らせるという時間領域での処理は、ラプラス変換の領域では

ずらす前の波形f(t)のラプラス変換F(s)に$e^{-sT}$をかけることに相当する

MATH, ラプラス変換は: $\frac{1}{s}$

より

MATH(ここが手の計算です)

となり、ラプラス平面で考えた回路(裏回路)は


RC__19.png

ここで、コンデンサC1のラプラス変換は $\frac{1}{sC}$ です。(t=0でv(t)=0:説明を省略)

そこで、出力は

MATH

ここで、V(s)を数式エンジンで、逆ラプラス変換にかけると

MATH, は次のラプラス変換 MATH

Mapleで逆ラプラスしないと、こうはならない。

MuPadではうまく出ない。うまくいかない時は数式エンジンを適宜

変えてやる必要がある。

と変換された。

今ここで、t<0において、v(t)=0であるので

従って

MATH

と求まる。

これのグラフは


RC__25.png

また、電流i(t)は

MATH

MATH
RC__28.png

となります。

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