階段状波形を、Waveletｓにて表現したい
| １．階段状波形を、Waveletsで表現してみる 今回は、maxima と言う、数式処理のお世話になります、感謝。 今回は、「やり直しのための通信数学 三谷先生 CQ出版 第9章」に、全面的に、お世話になっています。 まだ、何も解ってませんが、ひとまず、階段状波形を、Waveletと、呼ばれる関数で表現してみます。 ２． 先ず、２つの関数を定義します。  最初は、mystepと名付けたステップ関数です。 次は、φ(t)（ファイ）なる関数と、ψ(t)（プサイ）なる関数を定義します。 何で、そんな関数を定義するの？ なんて、疑問は、一切無しですよ、なんせ、何も解ってないのですから.... で、これらの関数のグラフは、以下のようになってます。（２、−２ と言う数値は、グラフを見やすくする為）    そうすると、ψ（ｔ）は、変数tを2倍した 2tに置き換えると、おもしろいグラフになります。   元のψ（ｔ） ψ(2t)は、時間を半分にする。周波数は2倍  ψ(2t-1)は、ψ(2t)を0.5だけ、ずらしたものになる。 それから、ψ（t)もそうなのですが、φ(t)のtを4倍したもの 4tで置き換えると     それぞれ、時間を1/4にした波形（周波数は4倍）が、時間軸で1/4ずつ、ずれていきます。 この1/4ずつ、ずれて行く波形を使って、元の階段状波形を表現する事が、できます。 x(t)=2*φ(4t)+8*φ(4t-1)+6*φ(4t-2)+3*φ(4t-3) ここで、以前の関係 phai(t)=phai(2t)+phai(2t-1) psi(t) = phai(2t)-phai(2t-1) で、ｔ→2ｔに置き換えると phai(2t)=phai(2*(2t))+phai(2*(2t)-1=phai(4t)+phai(4t-1) < br><br> psi(2t) =phai(2*(2t))+phai(2*(2t)-1)=phai(4t)-phai(4t-1) この２つの式から phai(4t)= ( phai(2t)+psi(2t) )/2 phai(4t-1)=( phai(2t)-psi(2t) )/2 が、得られます。 そして、以前の式で、 同じように t→2t-1 の変換を行うと phai(4t-2)= ( phai(2t-1)+psi(2t-1) )/2 phai(4t-3)= ( phai(2t-1)-psi(2t-1) )/2 が、得られますから、x(t)の式に、これらを代入します。 x(t)=2* ( phai(2t)+psi(2t) )/2 + 8*( phai(2t)-psi(2t) )/2 +6*( phai(2t-1)+psi(2t-1) )/2 +3*( phai(2t-1)-psi(2t-1) )/2 =5*phai(2t) -3*psi(2t) +9/2*phai(2t-1) +3/2psi(2t-1) この式で表される関数が、元の階段状波形と一致する事を、グラフで確かめましょう。  phai関数の部分： 5*phai(2t) +9/2*phai(2t-1)  psi関数の部分： -3*psi(2t) +3/2psi(2t-1) で、この2つを合成すると  これは、元の関数 x(t)と一致しています。  これで、マザーwavelet （ψ(t)をそう呼ぶそうです）の2倍の周波数成分（wavelet係数と呼ぶそうな）psi(2t)と、psi(2t-1)の係数が得られた と、言う事になるそうです。（まだ、ピンと来ない......鈍感 (^_^;; ）. |
| ３．更に、ですよ 以前の関係 phai(t)=phai(2t)+phai(2t-1) psi(t) = phai(2t)-phai(2t-1) が、ありましたから phai(2t)と、phai(2t-1)の部分が、上式から phai(2t) =( phai(t)+psi(t) )/2 phai(2t-1)=( phai(t)-psi(t) )/2 と、得られますから、 phai(2t),phai(2t-1)は、更に分解できます。 x(t)=5*phai(2t) +9/2*phai(2t-1) -3*psi(2t) +3/2psi(2t-1) < br > = 5*( phai(t)+psi(t) )/2+9/2*( phai(t)-psi(t) )/2 -3*psi(2t) +3/2psi(2t-1) =19/4*phai(t) + 1/4psi(t) -3*psi(2t) + 3/2*psi(2t-1) 19/4が、直流成分、 1/4がマザーwavelet成分、3が、マザーwaveletの2倍の周波数成分、 そして、 3/2が、マザーwaveletの2倍の周波数成分を1/2ずらしたものの成分だそうです。 あかん、まだ、ピンと来んわ.....超鈍感 最後に、この表現が、元のx(t)と一致する事を、確認しておきます。  OK、 しかし、まだ、ぼんやりとしか、理解してないわ..... 今回使ったwxMaxima Sessionを、保存しておきました。よかったらopenして見てください。 H.20.9.15 |