基本wavelet
| １．先ず最初に maximaにて、以下のようにscaling関数 phi(0,1) と、基本wavelet psi(0,1)を、定義します。  このように定義しておくと、maximaは  と、返してくれますので、時間ｔ を入力する手間が省けます。 そして、描画する関数を、ちょいと、定義しておきます。  そうしますと、scaling関数 phi(0,1)、psi(0,1)のグラフは  と、描けます。 で、大事なのは、ここからです。 |
| ２．これは、何を意味しているのか？ 今、phi(0,1/2) と言う関数を描いてみます。  で、この関数を、 scaling関数 phi(0,1)、 基本wavelet psi(0,1)で、表現しようと言う訳です。 phi(0,1/2)は、時間幅は、phi(0,1)、psi(0,1)の半分ですから 周波数で言えば、 phi(0,1)、psi(0,1)の 2倍の周波数にあたります。 ＝ ＋ の、1/2である事は、直感的に、すぐ解ります。 phi(0,1/2) = 1/2*( phi(0,1) + psi(0,1) ) これって、 ｆ（ｔ）を、フーリエ級数展開した時の  と、よく似てません？ phi(0,1)と、psi(0,1)が直交していますし.... ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （直感的には、内積はゼロである事は解るが、計算させてみると）  これって、元のpsi(0,1)と、おんなじですね。  エラーコード ２が出るのは  ２ if exvessive roundoff error is detected やから、丸め過ぎと、言う事なんでしょうが、 phi(0,1)*psi(0,1) の内積はゼロになります.... （所で、maximaって、特異点のある関数も、積分してしまうらしいですよ.... QUADPACK ） ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― で、結局、 周期が半分（周波数は2倍）の関数 phi(0,1/2)を、 周期が倍（周波数は基本周波数）の関数、 phi(0,1)と、psi(0,1)で、表現した事になると思います。 |
３．では、これは？ うーん、直感的に、phi(0,1)と、psi(0,1)を、どう処理したらいいか、解らん。 で、先ほど考えた時 phi(0,1/2) = 1/2*( phi(0,1) +psi(0,1) ) やったと、おんなじように phi(1/2,1) = 1/2*( phi(0,1) -psi(0,1) ) で、ある事も、すぐ解る  ＝ ＋ の、半分。 そやから、これは、代数的にやらんと、直感では、私には無理ですねん。 2*phi(0,1/2)+5*phi(1/2,1)=2*1/2*( phi(0,1) +psi(0,1) ) +5*1/2*( phi(0,1) -psi(0,1) ) =(2+5)/2*phi(0,1) + (2-5)*psi(0,1)  と、なって、 これは、元の関数と同じになります。 で、結論として 周期が半分でサンプルされた２点を、step関数で表現すると 2倍の周期の関数で表現するには phi 関数の係数は、元の2点の 平均 (s1+s2)/2 psi 関数の係数は、元の2点の 差の平均 (s1-s2)/2 になる。 サンプル点が、４つ、８つ、16個でも、これの繰り返しになるようです。 H.20.12.8 |