ディジタル信号処理超入門（インパルス応答、コンボリューション）

処理すべき信号が、アナログ信号である場合、

一般に、次の順序でディジタル信号処理されます。

（処理の途中の、アナログフィルタは、省いてあります。）

処理すべき信号が、最初からディジタルであれば、勿論、A/D変換は、不必要です。

１−１．ディジタル変換された、入力信号の表現の仕方

アナログ信号は、ある標本化周波数で、サンプリングされ、

離散的なディジタル信号に変わります。

（例1）

ｎは、時間を単位にするのが普通みたいですが、

別に、第何日にち、第何週とか、であっても、構いません。

ですので、

得られたデータは、順序付けされた、単なる数値の集合な訳です。

ｘ（ｎ）＝｛...、-2、0、1、3、...｝

てな具合です。

上記の例１では

ｘ（−１）＝−２、ｘ（０）＝0、ｘ（１）＝１、ｘ（２）＝３

です。

１−２．ディジタル化された入力信号を、インパルス関数で表現する

関数とは、

n＝０の時だけ、１という値をとり、その他の場合は ０という関数です。（ｎは整数です）

これを使えば

ｎ−２＝０の時（ｎ=2）だけ

ｎ−１＝０の時（ｎ=１）だけ

「そんなもん、当たり前やんか」、と

言われそうですが、これが、x(n)を一般的に表現するのに、役にたつんです。

と、一般に表現されています。

の時だけ、。

（*Lynn 「Introductory DIGITAL SIGNAL PROCESSING 」 ｐ.33 ）

一般式は、何を表しているのでしょう？

たぶん、

数列が、インパルスによって分解され、その総和が、入力の数列を表している。

数列が、インパルスの総和として表される所が、大事なのでは...

１−３．インパルス応答の種類

ディジタル信号処理の部分でも、インパルスに分解して、信号を処理しています。

Lynnさんは、上記書籍において、そのインパルス応答を、４種類に分類されて居られます。

(作図は、マイクロソフト社のエクセルの、グラフ作成機能を使ってますので

インパルスに、幅があるように見えますが、実際には、「幅がない！」と、見てくださいね。 ）

最初のmemorylessは、入力に一回だけ、反応するもの。

これは、普通ですね、わかり易い。

その右のnoncausal

これは、n=−１の時にも、出力があるもの。

入力がないのに、出力がある！

所謂、非因果律的なもの。

下のunstable

これは、反応が、徐々に増大（発散）していくもの。

従って、unstable（不安定）

最後のcausal stable with memory

これは、反応が、発散してないのでstable（安定）で、

n＜０で出力がないから、因果律に適う（causal）

メモリーが必要。

入力が一回きりで、系が、そんなに何回も、出力を出すものでしょうか？

これは、RC回路にインパルスを入力した時の、電圧の変化を見れば納得できます。

（拙作 22.RC回路をラプラス変換で解くと...から引用）

２． ディジタル コンボリューション（DIGITAL CONVOLUTION） って？

入力は、インパルスの総和で表現でき、信号処理回路の反応も、インパルスで表現できましたから

次は、入力と出力の関係を、インパルスから見ていきましょう。

以下は、系が線形の場合だけを考えます。（いまんところ、これしか考えられないですし、

参考文献の解説も、すべて線形の場合です、いまんところ...）

例2

上記の入力 x[n] があって、上記の信号処理回路の反応 h[n]があると、します。

n=−１の時、

初めて０でない入力 x[−１]＝１が、信号処理回路に入ってきました。

入力が左側ですが、その右側の出力 y[−１]は

注意すべき所は

ディジタル信号処理の反応は、ゼロ（０）から始まっていることです。

これは、信号処理の系に入力があれば、すぐに反応すると意味です。

ここで、今、最初の入力は n＝ー１の時でした。

ディジタル信号処理回路の、n＝０とは、数字が違います。

ディジタル信号処理回路のｎ＝０は、入力があれば、すぐに反応するという意味合いだと思います。

ここで、h[n]を、表現すると

ただし

これは、

ですので

と、なります。

（要するに、ずれるんですね...）

この入力のｎ＝−１と、信号処理の反応のｎとを一致させるために、h[nー（−１）]を考えますと

と、h[n]を、ずらさねば、なりません。

そうすると、入力のｎと、ｈ[n]のｎが一致します。

h[n+1]の意味は、ｎがー１の時、信号処理が開始されるという事だと、思います。

一致すると、出力は

と、表現できます。

こう表現できましたら、出力の一般式は

と、表現できます。

以下、同じように、入力x[n] を左側、それの出力を右側に書いて行きますと

x[k]＝x[k] ｘ と書けますから

ここで、出力y[n]は、右側の出力を合計したものです。

各色は、各入力に対する、出力を表しています。（合計する前）

これらを合計したものが、最終的な出力 y[n]です。

こうして、ｎに対する各出力を合計して、y[n]を求めることを ディジタルコンボリューションと言うそうです。

他の書籍で調べましたら、同じ操作を、「たたみ込み」と書いてありました。

（私は、最初、「たたき込み」と勘違いしておりました、hi えらい違いや... ）

したがって、

たたみ込み ＝コンボリューション

と、推定されます。

次回は、コンボリューションの一般的な形を、求めてみます。

（実は、まだ、はっきり解ってない...）

「フーリエの冒険 ヒッポファミリークラブ刊」届きました。

ヒッポのオリジナルで、英訳されて、米国の大学の教科書にもなったそうです。

SSB発生器製作の方は、チト、 お休みしております。

いまんところ、本探るのが、楽しいもんで...

H.15.5.16