ディジタル信号処理超入門（コンボリューションの一般式）

前回、ディジタル入力 ｘ[ｎ]、および、ディジタル信号処理ｈ[ｎ]を、インパルスで表現する事を、知りました。（時間軸に於いて）

そして、ディジタル入力ｘ[ｎ]の一般的な表現式は

でした。

実は、これより、出力 ｙ[ｎ]は、すぐ出てきます。

（１）式の（離散的な信号処理の関数）に、置き換えるだけです。

何故か？

１． 例１

前回、

例１では、我々は、次の出力を得ました。

合計した出力

ｈ[ｎ]をで表現すると、

でした。

例１では です。

では、ｙ[１」を求めてみましょう。

（２）式より

です。

合計する前の出力y[ｎ]の図より、

n=1に関係する項は、ｋ＝ -1,0、１の３つです。

では、n=1の時に、影響を及ぼさないし、

信号処理のインパルスは、今の場合、３つだから、ｎ１で、ｘ[ｎ]は、３つ取ればよい

ここで、h[n]をで表現したものは

何故なら、

は

だから。

上式は

出ました！

同じようにして

と、出ます。

以下、同じです。

上記の結果から

でした。

３つのｘ[n]を並べ、g[ｎ]を逆に掛けていっています。

これを図から、理解して行きましょう。

２．逆インパルスは、どんな？

これを、逆に並べた、インパルスの式は、どうなるでしょう？

目盛りは、左から右に向かって、数字が増えて行ってます。

ですので、

目盛りを、逆に、右から見てやれば、よいのでは...

ですので、h[－ｎ]を考えてみます。

元のh[ｎ]は

ｈ[０]＝１、ｈ[１]＝－１、ｈ[２]＝２

ですので、この関係を壊さないようにして、ｈ[－ｎ]を考えます。

ｎ＝０の時 ｈ[－０]＝１

ｎ＝－１の時 ｈ[－（－１）]＝ｈ[１]＝－１

ｎ＝－２の時 ｈ[－（－２）]＝ｈ[２]＝２

ですから、図示すると

ですので、逆のインパルスはｈ[－ｎ]になります。

このｈ[－ｎ]を、更に１つずらします。

ｈ[１－ｎ]を求めるのです。

ｎ＝－１の時 ｈ[１－（－１）]＝ｈ[２]＝２

ｎ＝０の時 ｈ[１－０]＝－１

ｎ＝１の時 ｈ[１－１）]＝ｈ[0]＝1

これは、

ｈ[－ｎ]を１つだけ、右にずらす事になります。

これで準備ができま縦した。

ｈ[１－ｎ]とx[ｎ]を重ねてみましょう。

そうしますと、

ｙ[１]は、同じ位置の、アズキ色と、同じ位置のｘ[ｎ]の掛け算で、求める事ができます。

これは

の図式的説明になります。

では

の図式的説明は？ と言いますと

これは

となります。

３．ｘ[ｎ]の方を逆にする

は、そのままで、ｘ[ｎ]を逆にする事を考えましょう。

同じように、重なっている所を、掛け合わせます。

同じく、ｙ[１]が求まりました。

ｙ[２]も、ｘ[１－ｎ]を１つ、ずらせて、ｈ[ｎ]と重ねると

と、求まりました。

以上より

の式は

と、どちらででも、表されることになります。

普通は、下の式が使われる事が、多いそうです。

ちょっと、疲れたニャン。

[Introductory DIGITAL SIGNAL PROCESSING second edition Paul A.Lynn Wolfgang Fuerst p.32-50]

H.15.5.21