ヒルベルト変換は、どんなん?

1.ヒルベルト変換の周波数特性


dsp33__1.gif

(・.2 離散的ヒルベルト変換器の周波数特性 C言語によるディジタル信号処理入門 三上直樹先生 CQ出版社 p.186より)

 

どうして、これがヒルベルト変換器の周波数特性になるのでしょうか?

 

自分なりに調べてみました、心細いわ...

2.ヒルベルト変換の周波数領域での関係式

 

(ディジタル、アナログ信号処理のための やさしいフーリエ変換 松尾博先生 森北出版 p.56。

松尾先生が、式も書いて下さっています、私にゃ、とても無理です。)

 

「信号f(t)が因果性であるとき、そのフーリエ変換F(MATH

互いに従属になることは第2章で述べましたが、ここではMATH

変換式を導きます。f(t)が因果性であることより、

   f(t)=f(t)U(t)     [私の 注U(t)は、ステップ関数]

これをフーリエ変換して

MATH

MATH

故に

 

MATH

MATH

故に

MATH

故に

MATH

故に

MATH

 

上式の実数部と虚数部に分けて

 

MATH

MATH

 

 

または、重畳積分を入れかえて

 

MATH

MATH

 

となります。

 

ふー、ここまで来るのに、随分時間が...

式を追うのが精一杯です。意味も、よう、解りもしませんわ...

 

 

3.この式から、時間軸に変換してみましょう!

 

松尾先生が、ヒルベルト変換について、お書きになっておられるのは、ここまでです。

もっと、大切な、根本的な事を、いっぱいお書きになって居られます。

 

しかたが、ないので、私、自分の超浅学も省みず、この事をやってみました。

きっと、とんでもない間違い、トンチンカンな事をしでかしていると思います。

ご指摘いただけましたら、誠にありがたいです。

合っているかどうか、自分でも、解らないのです...全く自信なし

 

松尾先生の、お導き下さった式

MATH

から、出発します。

フーリエ逆変換の定義より

MATH

ここに、MATH

MATH MATH

 

積分の順序を、入れ換えて

MATH MATH

 

ここで、フーリエ積分の性質 MATH

を使って、カッコ内を変形します。

 

今の場合、yはMATH

MATH

 

MATH

MATH

MATH

[wは、tの間違いです、すんません]

 

MATH

ここで、MATH

MATH

メープルに、解いてもらったのです。


dsp33<sub>_</sub>39.gif
MATH

そして、r(t)は、因果性でしたから、t>0の範囲だけ考えれば、上式は

MATH

 

という、恐ろしい数式になります、アジャパー!(伴・ 三郎さんのせりふ。左朴全さんの「ずびずばー」みたいなものです。)

上式は、r(t)が、どんな周波数であろうと、(-j)を掛ければよいのですから、

最初のヒルベルト変換の周波数特性と、一致します。

しかし、ほんまに、これでいいのでしょうか?

まったく、自信ありません....

 

追記(H.17.2.1)

MATH

この式なのですが、

これは、周波数領域での重畳積分の式である事が、後ほど解ってきました。

 

そこで

MATH

ですので

 

MATH

と、置きますと

 

MATH

のフーリエ変換対が、成り立つとして

 

上式は

MATH

                                                                                                             ----

                                                                                                            ここは1/2πが入ります、それとF(ω)の間違いです。

ですから

MATH

                                                                                 ----

                                                                                  ここは1/2πが入ります。

 

 

ところで、一般に

MATH

の関係が、ありますから

MATH

ここで

MATH

 

と、先に定義致しましたから

MATH

ですので

 

結局

MATH

MATH

と、なります。

 

x>0の範囲を採れば

MATH
graphics/dsp33__24.gif

$\qquad R(t)=jX(t)$

と、言う結論です。

 

MATH

に、付きましては

同様にして

MATH

MATH

                          -------

                          ここは1/2π が入ります。

 

 

より

MATH

                            ---

                             ここは1/2πが入ります。

 

 

MATH

MATH

より,t>0の範囲では

MATH

が、導かれます。

何とか、合っていたようで、ふー、やれやれです。(^_^);;

4.その他

べき級数で、関数を表現するよりも、三角級数で表現した方が、何かと都合が、よさそう..

.(お世話になったサイト http://www.ykt.info.gifu-u.ac.jp/dsp/sp3.pdf 解らないところが、殆どです...)

 

参考図書

「キーポイント フーリエ解析 船越満明先生 岩波書店」

「ディジタル.アナログ信号処理のための やさしいフーリエ変換 松尾博先生 森北出版」

「C言語によるディジタル信号処理入門 三上直樹先生 CQ出版」「フーリエの冒険 ヒッポファミリークラブ刊」

諸先生、ホームページをお書きくださっている皆様に、御礼申し上げます。 m(__)m

H.16.1.11

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