単位インパルス列のフーリエ変換

小暮先生の御著書「なっとくするフーリエ変換講談社」からの引用が、殆どです。

御礼申しあげます。

デルタ関数は、のこと。

ここで、周期T毎に、デルタ関数が並ぶ、単位インパルス列を考える。

このインパルス列は、周期T毎にインパルスが出る。

もし、周期T=1なら、こんな感じです。

複素フーリエ級数の係数、を求めるのですが

まず

周期の関係があります。

この時、複素フーリエ級数展開の係数は

で、表されます。

周期（の間に含まれるインパルスは、単位インパルス列の内、

だけです。

ですので

は、必ず、がに置き換えられます。

よって

と、なります。

係数を計算してみましょう。

全ての複素フーリエ係数は、になります。

よって、

です。

例によって、と、の虚部は、打ち消されます。

ですので、ｎ項までの複素フーリエ級数は

こんな感じですから、

ここで

ですから、上式は

と、なり

フーリエ変換の結果は、周波数軸上に

の整数倍の所に、やはり、インパルスが並ぶことになりますね

うーん...信じられん....

インパルス1個だけなら、あらゆる周波数を含むと言うのに...訳解らん

２．これは、どう言うことなんやろ

視覚的に、見てみる事にしました。

単位インパルスと、インパルス列を比べてみました。

これには、

「TECHIディジタル信号処理とDSP三上直樹先生CQ出版」付属のソフト

及び

のぐー様御製作のSPEANAと言う、フリーのソフトを使わせて頂きました。

真に、ありがとうございました。

まず、単位インパルスは、

三上先生御製作の「1.2ウェーブファイルを操作するプログラムの一部を、改造させていただきました。

かくして、単位インパルスのウェーブファイルを作り、のぐー様のSPEANAソフトで

見てみたのです。

あれっ？

なーんも、出てない...

これは、単位インパルスを時間ゼロで出して、それから、1秒まで見たものなので

インパルスが、消滅してしまってるのでした。

これは、ウソですね(^_^;;

「peak=0.000Hz -72db」 と、上に書いてあるもの...見えないだけ。

そこで、単位インパルスの時は、ごく僅かの時間だけ録音して、それを観察しました。

確かに、どの周波数も一様に、一定のレベルで含んでいます。

音のレベルも低いですね。

しかし、ほんの僅かの時間で、単位インパルスは、消滅してしまうのですね。

次に、インパルス列の場合です。

わおー、出ました！

式

に、あったように、振幅は、しっかり倍されています。

と、言う事は、単位インパルスが、各時間で発射されて

その時、当然、全周波数が出るのだと、思いますが

（インパルス列の、各単位インパルスの裾野が拡がっているから）

の整数倍の時だけ、いっきに、振幅が上昇するのだ

と、診ました。

否、

上式からみて、

全ての周波数が倍されるのだけれども、単位インパルスは

短時間で消滅するから、スペアナでは、の周波数だけが突出したように

見えるのでは...？

そんな事では、ないかと....

.....

いんや、違う

時間軸で見ると、各インパルス毎に、全ての周波数が出るのだけども

周波数軸で見ると、右の式のように、

ｗの整数倍の時にしか、周波数成分は、表れないのだ。

FFTで、裾野が見えるのは、窓とか、時間分解能の関係やろう。

適切な窓、時間分解能があれば、単一スペクトルのはずや。

不思議だが、そうなんにゃ.......