狭帯域BPFに入る前に

前準備

１．１正規化（normalize）と、実際の回路を構成する為の、逆正規化（denormalize）について

以前（28.実際にButterworth特性のローパスフィルタを計算する）に、逆正規化して、実際の回路のL.、Cの値を求めました。

ここで、

回路要素のL,Cに、ｑというものを導入すると、もっと見通しがよくなります。

１．２ｑの定義

Lで考えると

直列の場合

MATH

同じ定義を、正規化された（ $\omega =!\U{ff09}$ 回路について考えて

回路の最初の値L= $g_{1}$ に、信号源の内部抵抗 $R_{s}\quad$ が直列になっている場合

という値を定義します。

これは、コイルに抵抗Rが直列に入ったQの定義、そのものです。

上記の回路の場合、信号源の内部抵抗 ですから

しかし、必ずしも、負荷、信号源の内部抵抗は１ではない。

並列の場合

$R=Q\omega L$

（このQの値は、実は近似式です。Introduction to Radio Frequency Design p.55 eq.2.6.5)

$\vspace{1pt}$ よって

これも、コイルに抵抗Rが並列に入ったQの定義、そのものです。（直列の逆）

Cで考えると

直列の場合

並列の場合

(1),(2),(3),(4)式を、表にまとめると

MATH

リアクタンスで書くと、もっと解りやすい。

MATH

１．３逆正規化（denormalize）して、実際の回路の、各素子の値を求める

逆正規化する時、上記の表の値が、変化しないように、L,Cの値を変化させます。

例

3rd order LowPass Butterworthの正規化された $g_{1}$ は、今は、Lで1.000Hです。

もし、信号源抵抗R＝ $50\Omega$ で、カットオフ周波数が15MHzに逆正規化すると

逆正規化は、全てカットオフ周波数で行うことに注意

上記の表１のが変化しないように、Lの値を決めます。

今、Lは信号源抵抗と直列 ですから

(正規化されている側）

$\vspace{1pt}$ この値 $q_{1}$ が変化しないようにLの値を求めると

2番目の素子 $g_{2}$ は、これと同様に考えます。

$\vspace{1pt}$ 赤線を引いた左側の合成インピーダンスに対して

$g_{2}$ は、並列で、今の場合Cですから

表１のCで並列のｑを参照します。

(正規化されている側）

この値が変わらないように、Cの値を決めてやります。

$g_{3}$ は、Lであって、負荷抵抗との関係で決めます。

負荷抵抗と直列ですから

(正規化されている側）

だから

2.normalized coupling coefficient（正規化結合係数?）

MATH

今、1対の隣り合ったCとLの関係を調べるために

ｇ１と負荷抵抗を切り取った回路を調べる。

この時の各素子に流れる電流の、周波数による変化です。

赤（電源の電流）がディップしている所が、共振点（）です。

縦の白い破線が、normalizeされたの線です。

normalizeされた時の、各素子の電流の関係は

赤Isが信号源から流れる電流ですが

Cに流れる電流Ig2より、小さな値で、位相差があるために、こうなっています。

Ig2とIg3をベクトル的に合成すれば、辻褄は合っています。

次に、この回路で、トランジェント解析します。

ここから、

Lに流れる電流Ig3は約0.692A(peak)

Cにかかる電圧Vg2は約0.703V(peak)

と、読み取れます。

そして、

Lに蓄えられるエネルギーは $\dfrac{1}{2}LI^{2}$

Cに蓄えられるエネルギーは $\dfrac{1}{2}CV^{2}$

ですので、その比

MATH

となります。

実は、これが

$\dfrac{1}{LC}$ と一致するのです。

注「私の説明では苦しいので、参照ください Introduction to Radio Frequency Design p.85」

そして、 $\omega _{r}$ をこの回路の、normalizeされた共振周波数とすると

ですから

LとCが蓄えるエネルギーの比は、共振周波数 $\omega _{r}$ の2乗と一致します。

そして、この $\dfrac{1}{LC}$ のルートをとったものをnormalized coupling coefficient と言います。

（と言う事は、normalizeされた、２つの素子の共振周波数 $\omega _{r}$ そのもの）

結局、Lに蓄えられるエネルギーは

$K_{2,3}$ 倍される訳ですから、今の場合

Ｃに蓄えられるエネルギーの倍と計算できます。

上記の3pole Lowpass Butterworthを例にとると

ですから

Cに蓄えられるエネルギーは

$\qquad L_{1}$ に蓄えられるエネルギーの倍

$L_{2}$ に宅割られるエネルギーは

Cに蓄えられるエネルギーの倍

これは、元（ $L_{1}$ ）から、いけば

$L_{1}$ に蓄えられるエネルギーの倍

ですので、全体の比は

MATH

この順番にロスする訳ではないのですが、比率がこうなるという訳です。

回路のロスは、もっぱらコイル、コンデンサーの内部抵抗等のせいだと、思います。

一般に、n番目とn+1番目の素子の間には,次の関係が成り立つそうです...

狭帯域のBPFの時に、カップリングコンデンサーの値を決定します。

しかし、まだ、実感として、しっかりと解ったわけではありません。

お疲れ様でした...

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