ラプラス変換、なんじゃらほい

[本編は、無学な入門者の意見であって、厳密性、正当性、皆無である事を、ご承知置き下さい。

ラプラス変換の、正しい認識でない事は、ご指摘により、承知いたしております。

「ふざけた表題」は、私の「数式に負けるな！」と言う、意気込みの表れだと、ご理解下さい。

私は、本当の姿を見たい、理解したい...ただ、それだけです。

「間違いを恐れるな！」、「何もしないより、よっぽどマシ」etc...

本編は、間違いに満ちています。

それでも、掲載いたします。

これがキッカケとなって、理解が深まる事を夢見て...

「そこは、違うんじゃないか...」「ここが完全に間違ってる！」等の、対話こそ、私の、待ち望んでいた事なのです。

ご指摘、心から、御礼申し上げます。〕

赤ちゃんの言語習得の過程は、初学者の知識理解の過程と、よく、似ています。

赤ちゃんの、最初は、「あー、あー」と言うだけの発声段階から、発育に連れて、徐々に、一語一語が明瞭になってくるそうです。

私の理解の程度は、赤ちゃんの段階「あー、あー」です...　(^_^;;

ラプラス変換とは

ここに

(ｆは周波数、Tは周期）。

このままでは、実は、私には、内容がさっぱりわかりません。

そこで、まず、積分の中身について考えてみます。

ｓは定義より複素数ですから、も当然、複素関数です。

そこで、ｆ（ｔ）も複素関数であると考えます。

すると

積分の中には、内積をとる記号（）は付いていませんが

「無限次元ベクトルにおける内積は、無限個の成分を加算するため

積分を用いる...」

と言う記述を、ある書籍で見つけたので

という表現は

ｆ（ｔ）と言うベクトルとと言うベクトルの内積を意味すると

思いました。（今、思うと、ここから、根本的に間違っています。）

関数もベクトルだそうなので

ベクトルの内積

と、なり、

積分の範囲が無限大まで広がっていますから

ベクトルの内積を無限に足す

と言う意味ではないかと...

そして、複素数はオイラーさんの公式

で表わされるのですから、

ベクトルである複素関数も三角関数の級数で表現され

ベクトルである複素関数の内積は、その成分毎の内積で計算されるのだと...

そこで、三角関数自体も、複素関数であるとして

これらが、複素関数の基底ベクトルとすると

（何故、基底ベクトルになるか、つまり、内積が直交するかは、然るべき書を

ご一読ください）

との内積＝０

との内積＝

との内積＝

の関係から、ラプラスの積分が求まるのでは...

よく解っていない私が書くのですから、全く歯切れが悪いです...

ゴメンナサイ。

何事もチャレンジ！

結局、ラプラスの変換は

時間軸で記述された関数ｆ（ｔ）を、ｓ-平面上の関数ｆ（ｓ）に変換するもの

だそうです。

そうすると、各周波数成分もわかります。

勿論、それだけではありません。

インパルス波形を、ある回路に入力して、その出力波形を観測すると

その回路の伝達関数が求まる（その回路がローパスとか、ハイパスとかが

わかる）

そうです。

それから、ラプラス変換は、微分積分の演算子と言うのだそうで

実際に微分積分せずに、置き換えて、連立方程式を解くみたいにするのに使う

（微分＝ｊを掛ける 積分＝ｊで割るみたいなこと）

そうです。

それから

のときがフーリエ変換であり、ラプラス変換は、その拡張だそうで（と、私は感じたのです）

ラプラス変換の場合は過渡現象を記述できるが、フーリエでは、それが

できないそうです。つまり、フーリエ変換は定常状態を記述するものだそうです。

実際にやってみないと、雲をつかむみたいなので、

ぼちぼち、やって身に付けて行きたいと思います。

H.15.6.15　改