加法定理は暗記する必要がない！

2002 年 8 月 24 日

オイラーの公式と、指数法則を使うと便利

私は、高校生の時、三角関数の加法定理を覚えるのに、難儀した記憶があります。しか し、指数法則を利用し、オイラーの公式を使うと、暗記する必要がありません。うれし い...
まず、オイラーの公式とは

coshｱ isin h = eｱih (1)
です。
そこで、 h を a ｱ b に置き換えて、指数法則を使うと、 (1) 式の右辺は

i(aｱb) ia ｱib e = e e = (cosa+ isina)(cos bｱ isin b)
= cosa cosbｱ sin asinb +i(sin acosb ｱcosa sin b) (2)
となります。
また、 (1) 式の左辺は
cos(a ｱ b)+ isin(a ｱ b) (3)
ですから、この式 (3) の左辺と、先ほどの (2) 式の実部と虚部を比較することにより
cos(a ｱ b) = cosacosb ｱ sina sin b (4) sin(a ｱ b) = sin acosb ｱcosa sin b (5)
が導かれます。（楽やわー、v(^_^))
2 倍角、半角の公式も加法定理から簡単に...

a = b = h と置くと、加法定理から

sin 2h = 2sinhcosh cos2h = cos2h- sin2h = 1- 2sin2h = 2 cos2h - 1
と求まります。
半角の公式は、今の 2 倍角の公式で、 h をh 2 と置き換えてやれば求まります。
和積、積和の公式も OK です

sinA + sinB を求めるとき、 A = a + b,B = a - b となるように A,B を決めてやると、この a,b は、一意に決めることができる。

A + B = 2a A - B = 2b a = A-+-B- 2 A---B- b = 2
ですから、加法定理を使うと
sinA + sinB = sin(a + b)+ sin(a - b) = sinacosb + cosasinb +sina cosb - cosasinb = 2 sina cosb
となりますから、ここで a,b を A,B で表して代入します。
A-+-B- A---B- sinA + sin B = 2sin acosb = 2sin 2 cos 2
と、和積の公式が導かれます。積和の公式は、和積の公式において
A-+-B-= a 2 A---B-= b 2
と、置いてやれば求まります。その他の公式も、同じ方法で求まるはずです。

実際に波形を観測してみましょう

cos 波形１ KHz を合成して、 cos 波形２ KHz と同じ波形になるか試してみました。仮想積算、 減算器を使いましたので、 Circuit Viewer というシミュレーターをつかいました。 cos2h = 2cos2h - 1 を確かめてみようと言う訳です。

PIC 図 1:

そして、結果です。

PIC 図 2:

同じ波形が観測されました。よかった...