「ＲＣ回路をラプラス変換で解く」に挑戦の巻

挑戦と言っても、全て書籍の受け売りです。

書籍は「信号解析のための数学 三谷政昭著 森北出版 p.40」

すっごく、解り易く書いて下さっています。

私の役割は、受け売り ＋ アルファです。

今回のプラスアルファは「scientific notebook」と言うソフトです。

（この文書を、これで書いています。数式を解いてくれるエンジンに

ラプラス変換、逆ラプラス変換をやってもらっています。

お試し版なので、無料ですが、1ヶ月の命です。

Maple,Mathematicaなんかは とても高価で、趣味には無理ですが

これは手が届きそうですよ。

書くのを急ぐのも、この期限付きのせいかも...）

下図のRC回路に、スイッチング波形を印加した時の出力応答を求める

図では、見にくいですが、

大きさが１のスイッチング波形（の時だけ１、他は0）

R1=1 C1=0.5F

と言う条件です。

数式エンジン（MapleかMuPadが使える）では、ヘビサイドと言う関数です。

このヘビサイドは

と定義され、グラフは次のようになっています。

Heaviside

このHeavisideを3秒後に１になるように、ずらすには

とします。

したがって、RC回路に印加された電圧は

となります。

この電圧e(t)をラプラス変換すべく、数式エンジンにかけると

ラプラス変換は:

と出ますが、これはいけません。役に立たない。

そこで、上記の森下先生の本より

T(秒）遅らせるという時間領域での処理は、ラプラス変換の領域では

ずらす前の波形ｆ（ｔ）のラプラス変換F(s)にをかけることに相当する

, ラプラス変換は:

より

（ここが手の計算です）

となり、ラプラス平面で考えた回路（裏回路）は

ここで、コンデンサC1のラプラス変換は です。（ｔ＝０でv(t)=0：説明を省略）

そこで、出力は

ここで、V(s)を数式エンジンで、逆ラプラス変換にかけると

, は次のラプラス変換

Mapleで逆ラプラスしないと、こうはならない。

MuPadではうまく出ない。うまくいかない時は数式エンジンを適宜

変えてやる必要がある。

と変換された。

今ここで、ｔ＜０において、ｖ（ｔ）＝０であるので

従って

と求まる。

これのグラフは

また、電流i(t）は

となります。