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１．サンプル数４で、直線を近似してみる |
| ２．phi、psi 各関数を定義し直す 以下のように、定義し直します。 phi(n,k):=block( [t],if k*2^(-n)<=t and t<(k+1)*2^(-n) then 1 else 0 ) psi(n,k):=block([t],if k*2^(-n)<=t and t<(k+1/2)*2^(-n) then 1 else if (k+1/2)*2^( -n)<=t and t<(k+1)*2^(-n) then -1 else 0) そうしますと、今までと違って    このように、phi 関数の2番目の引数は、時間的ズレを表します。 1番目の引数は、 ２のマイナスの階乗が幾らか？ を表します。（つまり、stepの幅が幾らか？）   つまり、1番目の引数が大きな数字になる程、stepの幅は小さくなります。（周波数が高くなる） 別の定義では、反対に、 1番目の引数は、２のプラスの階乗が幾らか？と、言う定義です。(Ten Lectures on Wavelets : Ingrid Daubechies 著) （amazonで、立ち読みできますが、上記の書は、難しくて読めない....） この場合は、1番目の引数が大きな数字になる程、stepの幅は大きくなります。（周波数が低くなる） 私は、お手本の書（Wavelts Made Easy ウェーブレット変換の基礎 Yves Nievergelt著 松本先生訳）に従って 1番目の引数が大きな数字になる程、stepの幅は小さくなるほうを、選びます。 これで、やっと、 WaveMra.exe（ウェーブレット実践口講座 付属）の、レベルが小さくなる程、周波数が低くなるのか、やっと、解りましたわ。 つまり、1番目の引数（レベル）が小さくなる程、stepの幅は大きくなります。（周波数が低くなる）  注意点は、2番目の引数は、時間的ズレを表すのですが、 その位置は、1番目の引数（レベル、step幅）によって違ってくる事です。 この場合、1番目の引数はゼロだから、step幅は 2^(-0)=1となるから、時間のずれは １ 一方、  今の場合、1番目の引数は １だから step幅は 2^(-1)=1/2、 だから、時間のズレは、1/2。 ですので、2番目の引数の１は、 最初にプラスの方向にズレたもの、と言う意味合い（index）みたいなものに、考えとこうっと...勝手に決め込んどります。. |
| ３．やっと、4点でハールウェーブレット変換してみる 再掲します。 先ず、隣り合う2点で、和、差の平均を採る [0,1]の2点 s1= (0+1)/2 = 1/2 w1=(0-1)/2 = -1/2 [2,3]の2点 s2=(2+3)/2 = 5/2 w2=(2-3)/2 =-1/2 そして、関係する phi 関数は、 phi(1,0) , phi(1,1)の二つ （幅が1/2だから、1番目の引数は１）   そうすっと、psi 関数のほうも、psi(1,0) , psi(1,1) を用意する。   すると   合成すると  元のstep関数と、同じになりました。 ここで、 phi(1,0) , phi(1,1) を、元のstep関数と、同時に描いてみます。  そうすると、s1*phi(1,0) , s2*phi(1,1) は、各2点を表すstep関数の平均を採ったものである事が解ります。 ですので、 w1*psi(1,0) , w2*psi(1,1) は、元のstep関数との、差、 つまり、元のstep関数を s1*phi(1,0) , s2*phi(1,1)で表現した時の、元のstep関数との誤差を、意味する事に、なります。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- しばし、休憩 z,z,z............................................................  ゆく河の流れは絶えずして、しかももとの水にあらず。淀みに浮ぶうたかたは、かつ消え､かつ結びて、久しくとどまりたる例(ためし)なし。世の中にある人と､栖(すみか)とまたかくのごとし。 たましきの都のうちに、棟を並べ､甍（いらか)を争へる、高き､いやしき、人の住ひは、世々を経て尽きせぬものなれど、これをまことかと尋ねれば、昔ありし家は稀(まれ)なり。或は去年(こぞ)焼けて、今年作れり。或は大家(おほいへ)亡びて小家(こいへ)となる。住む人もこれに同じ｡所も変らず､人も多かれど、いにしへ見し人は､二三十人が中(うち)に、わづかにひとりふたりなり。朝(あした)に死に､夕(ゆふべ)に生るるならひ、ただ水の泡にぞ似たりける。 知らず､生れ死ぬる人､何方(いずかた)より来たりて、何方へか去る。また知らず､仮の宿り、誰(た)が為にか心を悩まし、何によりてか目を喜ばしむる。その主と栖と、無常を争ふさま、いはばあさがほの露に異ならず。或は露落ちて花残れり。残るといへども朝日に枯れぬ。或は花しぼみて露なほ消えず｡消えずといへども夕を待つ事なし。 この頃、頭禿げてきて、メゲテますねん..... ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 次に phi(1,0) , phi(1,1) は、再度 合成する事が出来ます。 関係する関数は、 phi(0,0) だから、 psi関数も psi(0,0) を用意する。 s3=(s1+s2)/2 =(1/2+5/2)/2 =3/2 w3=(s1-s2)/2 =(1/2-5/2)/2 =-1  同じ形になる事から、 s1*phi(1,0)+s2*phi(1,1) は、 s3*phi(0,0) +w3*psi(0,0)で、置き換え可能である事がわかります。 で、最後に、psi(1,0) ,psi(1,1) も交えた、全ての置き換え s3*phi(0,0)+w3*psi(0,0)+w1*psi(1,0)+w2*psi(1,1) を、描いてみます。  これは、最初に描いた、４つのサンプル点をstep関数で表現したものと、一致します。 つまり  は s3*phi(0,0)+w3*psi(0,0)+w1*psi(1,0)+w2*psi(1,1)と、一致します。 以上をヒントにして、 順次高速ハールウェーブレット変換プログラムを、考えてみます。 H.20.12.23 |