exp$\theta $とexp(-$\theta $ )

１．オイラーさんの公式、そのまんま

MATH

MATH大きさが同じで、回転する角度も、同じだが、反対方向に回るベクトルを

表します。

ですので、この２つのベクトルを分解すると、虚軸の成分は、大きさが同じで

方向が、逆のベクトルになりますから

虚軸のベクトル成分は、打ち消しあって、実軸のベクトルのみが、残ることに

なります。

MATH

ですので、

2つのベクトルが、１回転すると、その合成ベクトルは

、実軸上で、2(1+1=2)の大きさから、０になり、-2になって、再び０になって、

それから、又、２の大きさに、なります。

我々は、実軸上のものしか、目にみえないのですが、

目に見えない部分を考える事によって、合理的な説明が付きます、オイラーさんって、凄い！

この1回転を、立体的にみると（メチャへたな画像...m(__)m )

上段：回転する２つのベクトル

中段：緑色が、合成ベクトル（1平面にしか、存在しない）

下段：合成ベクトルの頂点を、結んだ。

MATH

井澤先生のHPを、自分なりに、解りやすくした、つもりです。

　

井澤先生の、こんなに丁寧な、ご説明は、世界中で、見たことがないです。

　

２．直流が1回転すると....

図が、汚いので、恐縮ですが、

虚軸に、直流のベクトルが、サンプリング周期毎に、８つ、並んでいたと、します。

MATH

この直流が、サンプリング周期、８つで、元の位置に戻る（1回転）と、しますと

虚軸から、始まるベクトルで、恐縮です。

MATH

緑色の線は、回転するベクトルの、実軸上の成分を、結んだものです。

MATH

では、2回転すると、どうなるか....

回転する速度は、2倍になる訳ですから、角速度は2倍です。


Figure

ですので、これの実軸上の成分を結ぶと


Figure

2回転する事に、なります。

３．DFTの計算は、何をしている、のか？

井澤先生は、書いておられます。

「それでは、ある方向に1周期の間に1回転する成分を検出するには、どのようにすればよいでしょうか？

「1周期の間に信号全体を逆方向に1回転させ、そのベクトル和を求める」

　

というのが答です。 」

凄い！！

やってみましょう！

1回転する成分を検出するには

    X(1)＝MATH

ですから、これは

「1周期の間に信号全体を逆方向に1回転させ、そのベクトル和を求める」

ちゅうことに、なります。

$W_{8}^{0}\ast x(0)$は、$x(0)$の回転を、0度戻す

$W_{8}^{1}\ast x(1)$は、$x(1)$の回転を　1*2π/8回転戻す！

$W_{8}^{2}\ast x(2)$は、$x(2)$の回転を、2*2π/8回転戻す

$W_{8}^{3}\ast x(3)$は、$x(3)$の回転を、3*2π/8回転戻す

.....

ちゅうことに、なります。

　

ベクトルの積は、極座標では

    

    |r1｜*｜r2｜^（　Θ1　+　Θ2　)

　

であり、

Wは、大きさが１ですから、回転だけの因子に、なります。

しかも、この回転の因子は、信号成分とは、逆の回転を表しています。

　

そしたら、1回転している、全てのベクトル成分は、同じ方向を向く！ことに、なります、凄い！

　

1回転しているベクトルに、他の回転の単位ベクトルとの積をとると、

それらのベクトルの和は、ベクトル合成すると、ゼロになってしまいます、たまげた！

1回転している、「ひねり飴」を、逆に1回転すると、「真っ直ぐな飴」になるのと、同じです。

（余談ですが、私は、「金太郎飴」乃至、「お多福飴」が、好きでは、あります...）.

2回転しているベクトルならば、

    X(2)＝MATH

で、

角速度を2倍にして、逆方向（時計方向）に、2回転させねば、なりません。

「

MATHは

    時間関数ｆ（ｔ）と、半径１の時計方向の回転との内積をとるものです。

それによって、ｆ（ｔ）の中に$\omega $の成分がどれだけ入っているかを調べるもので

その結果が周波数関数F($\omega $）なのです。」（工学のためのフーリエ変換　松尾先生　森北出版　p.3）

　

４．関数の直交性を調べるには

　

　以前（もう、2年前に、なってしまった）、ヒルベルト変換を実験していた時

　

　応援団長様から、

　

「現在の対処療法は、本質を見失う可能性があるような気がします。現在の取り組みは、

SSBへの道のりを遠くするかもしれません。ディジタル信号処理ですから、理論どおりに

動くはずなのです。

1) 複素化の直交性が崩れている

実数部の方の、遅延タップの位置を確認したほうがいいかも知れません

ヒルベルトフィルタを通す前に、BPFに通したほうが良いと思います。

特に信号の低域はヒルベルトフィルタの働きをしません。

局発のヒルベルトフィルタは41タップはもったいない気がします。

単一周波数なので、それが通るぎりぎりの帯域があれば充分だと思い

ます。

2) 実数部と虚数部の振幅がおなじで無い

固定小数点の桁取りを確認したほうが良いかも？」

　

との、有り難いお言葉を、頂戴しました。

　

これは、ベクトルの内積を、調べれば、よいのですね。（数値積分と、言うんやろか？）

　

「

    上に述べたベクトルの直交の概念を関数で捉え直してみましょう。

    [　ベクトルの内積　]に相当するのが

　

         [　定義される領域内で、2つの関数の積を積分すること]　です。

　

　これはすなわち

   

　が、ｆ（ｘ）をｇ（ｘ）に投影したときの成分の大きさを表しています。

　

　この定積分を関数ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の内積といいます。そしてこの積分値Cが０に等しいときに

　これらの関数ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）は互いに直交しているといいます。」

　

「　数学や数値積分を使わずにもっと直感的に考える方法があります。

    ２つの関数の積の積分を求めるわけだから、図を描いて

　同じ形の図形どうしの符号（＋−）を考え、打ち消しあうものを見つければよい」　

　

             （　Excelで学ぶ信号解析と数値シミュレーション　渋谷、渡邊先生　オーム社　p.93　）

　

     

　

例、

　

2年経って、ようやく、なんとなく、意味が解りかけて来たような、気が......(^_^;;

　

　

4.ちょっと、いい話

　

    もう、15年程前、小学生の息子が、通っていた塾の、社会の先生の、お話を、思い出しました。

　1543年、日本に、鉄砲が伝来したのは、私も習って、知っていたのですが、

　その後の話が、おもしろい。

　

    100年後、日本人は、伝来した鉄砲を、改良して、命中率の高い鉄砲に、したそうです。

　　そのため、外国で評判になり、逆に、鉄砲を輸出するように、なったそうです。

　　欧米で、狙撃兵が出現したのは、それから以降の事だ、そうです。

　　なんとなく、嬉しいぞ.......

　

H.18.4.25