FilterのBasics(1)

RLC回路のラプラス変換

ラプラス変換する理由は、回路の周波数による変化を見るためです。

コイルLのラプラス変換は

コンデンサCのラプラス変換は $\dfrac{1}{sC}$

です。

従って、回路にオームの法則を適用して

ですから、伝達関数H(s)は

MATH (1)

ここで、新しい変数 $\omega _{0}$ ,Qを導入します。

, (2) $\qquad$

それから

ですから

(3)

1式は、２，３式を用いて

MATH (4)

$\vspace{1pt}$ 今、4式でと置き、 $\omega _{0}$ =１と置くと

MATH

従って、H( $j\omega$ )の角周波数 $\omega$ による変化のグラフは

Q=1Q=2

赤はQ=１，青はQ=2の時

Q=1 , Q=2

赤はQ=1、青はQ=2の時

となります。

さて、4式において

MATH (4)

分子はｓについての1次式

分母はｓについての2次式になります。

ここで分子がゼロになるのは s=0の時（これをzero といいます。邦訳は知りません）

そして分母がゼロになるのは、ｓについての2次式の解

,を解けばよいわけです。

解は:

この解 $P_{1,2}$ をpole（ｓ）と言うそうです。（これの邦訳は、極でしょう...）

もしならば

$P_{1,2}$ のルート内は正またはゼロとなり、 $P_{1,2}$ は実数で、 $P_{1}>P_{2}$ ですから、ラプラス平面での位置は

Pole-zero plots (Q

$\leqq \dfrac{1}{2}$ )

と、実軸 $\quad \sigma$ 上に並び、 $Q,\omega _{0}$ は正ですから、 $P_{1,}P_{2}$ は負で、この順序で並びます。

もし、 $Q>\dfrac{1}{2}$ ならば

$P_{1,2}$ のルート内は負となり、 $P_{1,2}$ は虚数となる（ $P_{1,2}$ は共役で、大きさは $\omega _{0}$ ）

従って、ラプラス平面での位置は

Pole-zero Plots (Q>

$\dfrac{1}{2}$ )

となります。

一般に、伝達関数H(s)は

Kはスカラー常数

と表され、

を Zerosと言い

を Poles といいます。

単純に考えれば、Zeros は伝達がゼロになる点

Poles は、伝達が極になる点

と、なると思いますが、どうも、違うようです。

（ここんとこは、まだ、よく解っていません...）

出典 Introduction to Radio Frequency Design Wes Hayward著

$\quad$

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