| １．おさらい 前々節では、階段状波形が、基本スケーリング関数 φ(t)の時間を1/4にした4つの関数     によって、  と、表現される事が解りました。 そして phai(t) = phai(2t) + phai(2t-1) psi(t) = phai(2t) -phai(2t-1) なる関数 φ(t)、ψ(t)を定義して 上式より t ->2t t-> 2t+1 を代入し phai(2t) = phai(4t) + phai(4t-1) psi(2t) = phai(4t) -phai(4t-1) phai(2t-1) = phai(4t-2) + phai(4t-3) psi(2t-1) = phai(4t-2) -phai(4t-3) これら４つの関係式から phai(4t) = ( phai(2t) + psi(2t) )/2 phai(4t-1) = ( phai(2t) -psi(2t) )/2 phai(4t-2) = ( (phai(2t-1) + psi(2t-1) )/2 phai(4t-3) = ( (phai(2t-1) - psi(2t-1) )/2 を代入して、最終的に （ちょっと、省略） x(t) =19/4 phai(t) + 1/4psi(t) +(-3)psi(2t) +3/2psi(2t-1) と、変形できました。 そして、これが、元の階段状波形と同じ波形である事を、確認しました。  これは、x(t)を、それぞれが直交する関数、 スケーリング関数phai（ｔ）と、ウェーブレット psi（ｔ）、psi(2t)、psi(2t-1)で表現したものです。 何で、これらが、それぞれ、直交しているかは、井澤先生のページをご覧下さい。（尚、私の使ったwavletsは、正規化されていません。） |
| ２．逆変換は、どうなん？ これは、変換されたx(t)を、元のphai関数で表現してやる事に、あたります。 元のphai関数で表現されたｘ（ｔ）の、それぞれの係数を s1,s2,s3,s4 と、すると x(t)=s1phai(4t) + s2phai(4t-1) + s3phai(4t-2) +s4phai(4t-3) スケーリング関数phaiと、waveltsで表現されたものの係数を c00, c10,c20, c22 と、すると x(t)= c00phai(t) + c10psi(t) + c20psi(2t) +c22psi(2t-1) に、なりますが、両式の係数を計算すると c00= (s1+s2+s3+s4)/4 c10= (s1+s2-(s3+s4) )/4 c20=(s1-s2)/2 c22=(s3-s4)/2 この関係を s1,s2,s3,s4 について解くと  の、関係があります。 ここで、スケーリング関数とwavletsで表現された式では、  でしたから、 こうして、c00等の係数を確定してから、もう一度先ほどの方程式を解くと  と、求まり、元のｘ（ｔ）が再現されました。 x(t)=2phai(4t) + 8phai(4t-1) + 6phai(4t-2) +3phai(4t-3) 目出度し、目出度し。 |
３．scaling関数の、こんな表現もある 但し、  なんじゃ、こりゃ！  n=k=0 は、基本step関数   基本step関数の半分の周期 左図を １/2だけ、ずらしたもの ありり！ 基本step関数の周期を半分にした関数は、振幅が１に、ならない...... 実は、この原因が解らなくて、1週間、あちこち、彷徨ったのであります。 関数の直交性の他に、正規化が必要らしい事が、解ってきました。 大体やね、ヴェクトルの正規化、直交性も、よう知らんのに、関数の正規化、直交性は、ちと、難しかった.... 次回に。 ヴェクトル.....日欧チャンポンの造語やね。ヴェクターの方が、それらしいかな... vector H.20.9.30 |